Disegni geometrici Mandàla e l’idea di “simmetria”, compattante due discipline, geometria e algebra

Giuffrida Farina

Il concetto di simmetria compatta due discipline, la Geometria e l’Algebra, unificandole in un singolo insieme, attraverso l’idea di equivalenza: una entità geometrica (es. una retta) equivale ad un ente algebrico (una equazione che la identifica univocamente), viceversa possiamo associare ad  una ben definita equazione, l’entità geometrica “retta”. Pertanto la simmetria consente la trattazione della Geometria in maniera algebrica (ovvero attraverso la scrittura di entità numeriche e letterali),  e, in forma equivalente: valori numerici ed equazioni (le coordinate X-Y di un punto P, l’equazione di una retta, l’equazione di un piano…) si impiegano per descrivere entità geometriche. In tale “àmbito simmetrico” trovano spazio tanto fenomenologie astratte quanto fenomeni concreti. L’elemento neutro, la “nullità” ovvero lo zero, rappresenta elemento separante i due insiemi costituiti  dai numeri positivi e da quelli negativi, ma tale simmetria -rispetto allo zero- tra quantità positive e quantità negative aventi egual valore assoluto, è un concetto astratto: lo zero non è “pirandelliano”, ha un singolo aspetto in quanto si trova “in mezzo” ovvero al centro tra due quantità aventi lo stesso valore assoluto (es. -7 e + 7), dunque questo implica l’inesistenza di un duplice zero, uno zero positivo e uno zero negativo. Analoga simmetria “pirandelliana” della quale trattammo in uno dei precedenti articoli: è simultaneamente astratta/concreta la simmetria onda-particella, inglobata nella Meccanica quantistica: l’onda di energia si converte in particella ovvero l’ “immateriale energia” prende forma trasformandosi in “particella concreta”, e viceversa si manifesta analogo percorso invertito, il cammino particella/energia.

La simmetria possiamo inquadrarla intuitivamente, suddividendo una figura in 2 parti (es. tagliando un rettangolo lungo la diagonale, oppure lungo l’asse centrale di simmetria) che risulteranno congruenti nel senso di perfetta sovrapposizione, il ruolo della linea separatrice delle 2 parti simmetriche, ossia l’asse di simmetria, in sostanza svolgerà la medesima funzione del valore di neutralità (lo zero) innanzi descritto. Adesso consideriamo un insieme I composto da 7 termini numerici: l’elemento neutro (lo zero) e 3 coppie, con ciascuna coppia esibente   lo stesso valore ma con segno + e – ; ecco l’insieme: I=(0; 1, -1 ; 2, -2; 1/2, -1/2). Senza ovviamente addentrarci, in termini assai semplici, questo insieme I lo chiamiamo: “I mod7”; traduzione, ribadiamo: l’insieme (I) è caratterizzato da 7 valori (mod7), in questo caso specifico sono  inglobati  lo zero e 3 coppie simmetriche, quelle suindicate ossia (1,-1); (2,-2);(1/2,-1/2).Relativamente alla simmetria algebrica additiva, possiamo considerare la lunghezza di un percorso, funzione additiva di tale cammino, nel senso che considerando due lunghezze consecutiva AB e BC, si verifica che lunghezza (AC) = lunghezza (AB) + lunghezza (BC). Equivalentemente: l’area delle superfici (piane o curve) e il volume dei solidi, sono funzioni additive. Adesso percorreremo un terreno artistico/geometrico, tratteremo disegni geometrici nei quali sono riscontrabili le proprietà di simmetria evidenziate, in particolare la presenza dell’insieme “I mod7” (dove “mod” equivale a “modulo”); disegni geometrici che prendono il nome di “Mandàla”.

Di origine indiana, il Mandàla  è un disegno geometrico che presenta diverse espressioni grafiche nelle culture asiatiche; esso: 1)è una rappresentazione simbolica dell’universo, raffigurando l’ordine cosmico; 2)funge da supporto a meditazione e preghiera, soprattutto in Cina, Giappone e Tibet, risultando uno dei  più importanti simboli del Buddismo tibetano. Verso quali obiettivi è indirizzato il disegno geometrico “Mandàla”? In sintesi estrema, funge da guida spirituale e simboleggia l’ordine cosmico. Dunque, esteriormente,  il “Mandàla” è una RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA DELL’UNIVERSO, uno schema prospettante l’ordine cosmico; ma esercita una azione interiore su noi: interiormente agisce quale GUIDA SPIRITUALE per pratiche psicofisiche, compresa la meditazione. Ecco, esplicito l’immagine integrativa:  è un “Mandàla” nel quale sono posti in evidenza 5 simboli, inoltre trova spazio l’entità innanzi palesata, “I mod7”. Una rapida panoramica.1) RUOTA BUDDISTA A 8 RAGGI o Ruota del Dharma, emblema della religione Buddista, la rappresentazione di 8 raggi è in riferimento al percorso buddista degli 8 gradini. Esiste un’altra versione, esibente 24 raggi in riferimento alle 24 ore del giorno, simboleggiante l’aspetto di vita corretta che deve condurre il praticante buddista nel corso delle 24 ore della giornata.

L’Ottuplice Sentiero consiste in 8 pratiche: retto modo di vedere, retta intenzione, retta parola, retta azione, retti mezzi di sussistenza, retto sforzo, retta presenza mentale e retta concentrazione, ognuno degli otto raggi della Ruota descrive le 8 pratiche; è da notare che questa immagine raffigura l’idea di un metodo globale ovvero olistico, con intreccio e compenetrazione di ognuna delle 8 modalità con le restanti 7, dunque un coesistente sviluppo simultaneo. 2) SIMBOLO ESOTERICO, LA STELLA A 6 PUNTE (ESAGRAMMA), simbolo associato al popolo e allo Stato d’Israele, la cui bandiera nazionale è adornata da tale simbolo; è strutturato con 2 triangoli: uno presenta il vertice rivolto verso l’alto (principio spirituale), mentre l’altro, con il vertice verso il basso, allegorizza il principio corporale.

La raffigurazione è conosciuta anche come “Sigillo di Salomone” o “Stella di David” (il padre di Salomone), nella concezione cabalistica assume il significato di unione e armonia tra microcosmo e macrocosmo. 3) CROCE CRISTIANA A DUE ASSI, con duplice connotazione di figura simbolica e quale strumento di supplizio, relativamente a tale aspetto la croce è stata usata da molti popoli antichi (persiani, cartaginesi, soprattutto i romani allorquando giungeva l’ora della esecuzione capitale per schiavi e ribelli). La crocifissione di Gesù non fu pena ebraica, fu un supplizio romano in quanto il solo procuratore romano aveva diritto di conferma e attuazione delle sentenze capitali emesse dal Sinedrio. Simbolo cristiano per eccellenza ma convertito anche quale motivo applicato all’arte e  componente ornamentale, la croce rappresenta l’affermazione della umiliazione del Dio incarnato e del carattere incomprensibile della salvezza operata da Gesù. 4) CANDELABRO GIUDAICO A 7 BRACCI, la Menorah, simbolo ebraico per antonomasia, con le 7 luci simbolicamente prospettanti la creazione dell’universo in 7 giorni.

Una visione profetica (Cap. 4 del libro del profeta Zaccaria):: “L’angelo che mi parlava venne a destarmi, come si desta uno dal sonno, e mi disse: Che cosa vedi? Risposi: Vedo un candelabro tutto d’oro; in cima ha un recipiente con 7 lucerne e 7 beccucci per le lucerne. Le 7 lucerne rappresentano gli occhi del Signore che scrutano tutta la terra”. 5) I 12 SETTORI ZODIACALI, 12 costellazioni; nell’ordine: Ariete, Toro, Gemelli, Cancro, Leone, Vergine, Bilancia, Scorpione, Sagittario, Capricorno, Acquario, Pesci. Adesso ritorniamo alla immagine “Mandàla” e al disegno allegato nel quale confluiscono i 5 simboli descritti; concludiamo con una considerazione matematica, evincibile dall’ ”analisi aritmetica”  della rappresentazione grafica a carattere artistico: in orizzontale, la somma dei valori è pari a zero (elemento neutro rispetto alla addizione, nel senso che se lo aggiungo ad un generico numero, ottengo lo stesso valore numerico ):(-1/a) + (1/a) = 0,  (-a) + (a) =0,valori eguali ed opposti forniscono somma nulla; in verticale, il prodotto dei termini presenta il risultato “1” (elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, nel senso che se lo moltiplico per generico numero N, ottengo lo stesso valore numerico N): moltiplicando un numero N per il suo reciproco 1/N, il risultato è pari a 1:nella figura, (N) x (1/N) =1, relazione valida anche per i rispettivi valori negativi:  (-N) x (-1/N),otteniamo ancora 1. In definitiva, nella illustrazione “Mandàla” da me artisticamente ricreata, unita a questo scritto, sono rappresentati i 5 simboli descritti ed è riscontrabile una relazione tra le 4 simmetrie (geometriche) assiali e le 2 simmetrie (algebriche), additiva e moltiplicativa.

Concludiamo con una breve nota riguardante l’aritmetica modulare; il modo migliore per introdurre l’aritmetica modulare è pensare al quadrante di un orologio: i numeri vanno da 1 a 12,ma quando “nella realtà” si giunge alle “ore 13”, l’orologio continua a segnare le ore 1.Dunque,13 “diurno” noi lo leggiamo ancora “1”; 14 “diurno” lo leggiamo “2”… In questo universo aritmetico modulare:1,13,25,37… sono inquadrati univocamente, sono tutti pensati come unica entità; analogamente:2,14,26,38…e così via. Se una competizione inizia alle 22 e dura 4 ore, essa termina alle 2 del giorno successivo: eppure la somma (22 + 4) = 26, non risulta essere uguale a 2!Un orologio digitale non indica la data, ma per esso orologio digitale (simbolo dell’aritmetica modulare), l’operazione (22 + 4) =2 è  perfettamente corretta.